เรื่องที่ 7.3.2.2 ตัวแบบพื้นฐานของระบบแถวคอย

ตัวแบบพื้นฐานของระบบแถวคอย
             ตัวแบบพื้นฐานของระบบแถวคอยเป็นตัวแบบที่มีข้อสมมุติฐานดังต่อไปนี้
                    1. จำนวนที่มารับบริการและการรอคอยมีจำนวนไม่จำกัด
                    2. มีช่องทางให้บริการเพียงช่องทางเดียว
                    3. การกระจายของการมารับบริการเป็นแบบปัวซอง
                    4. การกระจายของเวลาให้บริการเป็นแบบเอกซ์โพเนนเชียล
                    5. ระเบียบการให้บริการเป็นแบบใครมาถึงก่อนได้รับบริการก่อน
                    6. อัตราการให้บริการ (  ) จะต้องสูงกว่าอัตราการมา(  )  มิฉะนั้นแล้วจะเกิดสภาพแถวคอยมีจำนวนเพิ่มขึ้นเรื่อยๆ
การมี่อัตราการให้บริการมีค่ามากกว่าอัตราการมารับบริการจะทำให้ระบบแถวคอยเข้าสู่สภาวะคงตัว
             จากข้อสมมุติฐานทั้ง 6 ข้อ ต่อไปนี้จะแสดงรายละเอียดที่มาของสูตรที่ใช้ในการคำนวณค่าสถิติซึ่งแสดงผลการดำเนินงาน
ของตัวแบบดังนี้
                                 สัดส่วนที่ส่วนบริการทำงานโดนเฉลี่ย ( P )      =              -------------------- (1)
                                 จำนวนลูกค้าโดยเฉลี่ยที่อยู่ในระบบ   ( L )        =          -------------------- (2)
                                 เนื่องจากความสัมพันธ์ L  =  W  หรือ  W   =                -------------------- (3)
             แทนค่า    L   =    ในสมการ ( 3 )  จะได้สูตรเวลาที่ใช้ในระบบโดยเฉลี่ยดังนี้
             
                         W   =  (  ) (  )

             จะได้       W   =                                            -------------------- (4)
เมื่อทราบค่า W เวลารอคอยโดยเฉลี่ย ( Wq)  หาได้ดังนี้
                         Wq   =    W -                                         -------------------- (5)
           
               แทนค่า W  =  ในสมการ ( 5 )  จะได้

                        Wq   =  
              
              หรือ     Wq  =                                       -------------------- (6)

เมื่อทราบค่า  Wq   ก็สามารถหาค่าความยาวของแถวคอย ( Lq )  จากสูตร
                           Lq   =    Wq


       แทนค่า  Wq  =     ในสมการ ( 7 )  จะได้	     -------------------- (7)

                   Lq     =    ()(   )

       หรือ     Lq      =                                           -------------------- (8)

ดังนั้น โดยสรุปสูตรที่ใช้ในการคำนวณเป็นดังนี้

                                              L   =     

                                            Lq   =         

                                           W    =    

                                          Wq   =    

              สำหรับความน่าจะเป็นที่จะมีลูกค้าอยู่ในระบบ n หน่วย ( Pn)  คำนวณได้ดังนี้
               
                                         Pn = ()n. P0    ; n =1,2,3,...
                            โดยที่   P0   =  1   -   
  ในที่นี้  P0 หมายถึงความน่าจะเป็นที่จะไม่มีลูกค้าอยู่ในระบบ  ซึ่งมีความหมายเช่นเดียวกับความน่าจะเป็นที่ส่วนบริการว่างงาน

ตัวอย่างที่  4   อัตราการบริการซึ่งเสียต้นทุนต่ำสุดสำหรับระบบแถวคอยที่มีช่องให้บริการเพียงช่องเดียว
บริษัทส่งออกพืชผลแห่งหนึ่งมีการขนส่งสินค้าเกษตรกรรมไปจัดเก็บที่โกดังสินค้าของบริษัทในเวลาตอนเย็นเพื่อจัดส่งไป
ต่างประเทศต่อไป  รถขนส่งจะมาส่งสินค้าที่โกดังโดยเฉลี่ยประมาณ 2 คันต่อชั่วโมง  ที่โกดังสินค้าจะมีกรรมกรขนสินค้า
ลงจากรถ 3 คน โดยเฉลี่ยแล้วสามารถขนถ่ายสินค้าได้ 3 คันรถภายในเวลา 1 ชั่วโมง  สมมุติว่าการกระจายของช่วงห่างกัน
มาของรถขนส่งและเวลาที่ใช้ในการขนถ่ายสินค้ามีการแจกแจงแบบเอกซ์โพเนนเชียล  ถ้าเพิ่มจำนวนกรรมกรขนถ่ายสินค้า
จะทำให้อัตราการให้บริการเพิ่มขึ้นตามอัตราส่วน  นั่นคือถ้าใช้กรรมกร 4 คน สามารถขนถ่ายสินค้าได้ 4 คันรถในเวลา  1 
ชั่วโมง  กรรมกรแต่ละคนได้รับค่าจ้าง 10 บาทต่อชั่วโมงในการทำงานกะกลางคืน 8 ชั่วโมง  ต้นทุนการรอคอยเมื่อพนักงาน
ขับรถขนส่งต้องเสียเวลารอคอยเพื่อขนถ่ายสินค้าคิดเป็นมูลค่าประมาณ 20 บาท/ชั่วโมง  จากข้อมูลข้างต้น  ผู้บริหารโกดัง
สินค้าควรจะจ้างกรรมกรขนถ่ายสินค้ากี่คนจึงจะทำให้เสียค่าใช้จ่ายต่ำสุด
              ตัวแปรที่ใช้ในการตัดสินใจในระบบการขนถ่ายสินค้า  คือ  อัตราการให้บริการโดยกลุ่มกรรมกร ทางเลือกสำหรับ
จำนวนกรรมกรเป็นดังนี้
                  A1   :  ใช้กรรมกร 3 คน  (   =  2 คัน/ชั่วโมง  ;    =  3 คัน/ชั่วโมง )
                  A2   :  ใช้กรรมกร 4 คน  (   =  2 คัน/ชั่วโมง  ;    =  4 คัน/ชั่วโมง )
                  A3   :  ใช้กรรมกร 5 คน  (   =  2 คัน/ชั่วโมง  ;    =  5 คัน/ชั่วโมง )
                  A4   :  ใช้กรรมกร 6 คน  (   =  2 คัน/ชั่วโมง  ;    =  6 คัน/ชั่วโมง )

                หลักเกณฑ์ที่ใช้ในการเลือกทางเลือก  คือ  เลือกทางเลือกที่มีต้นทุนรวมโดยเฉลี่ยต่ำสุดต้นทุนประกอบด้วย 
ต้นทุนการขนถ่ายสินค้า  และต้นทุนการรอคอย
                ต้นทุนการขนถ่ายสินค้าต่อการทำงานกะกลางคืน ( 8 ชั่วโมง )  คำนวณได้ง่ายดังนี้
                      ค่าจ้างกรรมกร  =  10 บาท/ชั่วโมง
                      ค่าจ้างกรรมกร 1 คนในการทำงานกะกลางคืน = (10)(8) = 80 บาท
สำหรับทางเลือก A ค่าจ้างกรรมกร 3 คนในการทำงานกะกลางคืน = 80 3 = 240 บาท
                ต้นทุนการรอคอยขึ้นอยู่กับเวลาที่ใช้ในระบบกล่าวคือช่วงเวลาตั้งแต่รถสินค้ามาถึงโกดังจนกระทั่งขนถ่ายสินค้า
แล้วเสร็จ เวลาเฉลี่ยที่อยู่ในระบบคำนวณได้จากสูตรดังนี้
                                           
                                                                        W    =    

สำหรับทางเลือก A1   :   W1         =             =   1 ชั่วโมง

สำหรับทางเลือก A2   :   W2         =             =   1/2 ชั่วโมง  หรือ 30 นาที

สำหรับทางเลือก A3   :   W3         =             =   1/3  ชั่วโมง  หรือ 20 นาที

สำหรับทางเลือก A4   :   W4         =             =   1/4  ชั่วโมง  หรือ 15 นาที

              ต้นทุนการรอคอยต่อคืนขึ้นอยู่กับจำนวน  เวลาที่อยู่ในระบบ  และต้นทุนการรอคอย
              สำหรับทางเลือก A1 รถขนส่งมาส่งสินค้าที่โกดังเฉลี่ย 2 คัน/ชั่วโมง ดังนั้นในเวลา 1 คืน    ( 8 ชั่วโมง )  
จะมีรถมาส่งสินค้าที่โกดังโดยเฉลี่ย 2 x 8 = 16 คัน/ชั่วโมง รถขนส่งแต่ละคันจะเสียเวลา 1 ชั่วโมง ( W1 ) นับตั้งแต่
มาถึงโกดังจนกระทั่งขนถ่ายสินค้าแล้วเสร็จ ในช่วงเวลาดังกล่าวพนักงานขับรถต้องเสียเวลารอคอยคิดเป็นมูลค่าเสียหาย
ประมาณ 20 บาท/ชั่วโมง ดังนั้นค่าคาดหมายของต้นทุนการรอคอยคำนวณได้ดังนี้

                 E(Wc1)  =   ค่าคาดหมายต้นทุนการรอคอยต่อคืนสำหรับทางเลือก A1
                                =    อัตราการมา  จำนวนชั่วโมง เวลาในระบบ ค่าเสียหาย/ชั่วโมง
                                =    2 x 8 x 1 x  20
                                =    320 บาท
               ในทำนองเดียวกันจะคำนวณต้นทุนการรอคอยและต้นทุนการขนถ่ายสินค้าสำหรับทางเลือกอื่นๆ
ได้ดังแสดงในตารางที่ 8

                                  ตารางที่ 8  ต้นทุนสำหรับทางเลือกต่างๆของระบบขนถ่ายสินค้า

ระดับการ ให้บริการ	จำนวน กรรมกร	เวลาเฉลี่ย อยู่ใน ระบบ W =	จำนวนรถที่มาถ่าย ต่อคืน 8 = 16	ต้นทุนค่า คาดหมายการรอคอยต่อคัน ในอัตรา 20 บาทต่อชั่วโมง E( Wc )	ต้นทุนค่า คาดหมาย ของการ ขนถ่าย ต่อคืนใน อัตรา 80 บาท/คน	ค่าคาดหมาย ต้นทุนรวม E(Tc)=E(Wc)+ E(Sc)
A1 ( = 2 , = 3 )	3	1 ชั่วโมง	16	320	240	560
A2 ( = 2 , = 4 )	4	1/2ชั่วโมง	16	160	320	480*
A3 ( = 2 , = 5 )	8	1/3 ชั่วโมง	16	106.67	400	506.67
A4 ( = 2 , = 6 )	6	1/4 ชั่วโมง	16	80	480	560

             จากตารางที่ 8 จะเห็นว่าควรเลือกทางเลือก A2 คือใช้กรรมกร 4 คน ให้ต้นทุนรวมโดยเฉลี่ยต่อคืนต่ำสุดฉะนั้นการใช้
กรรมกร 4 คน เป็นขนาดที่เหมาะสมและประหยัดที่สุด
หมายเหตุ  เปรียบเทียบทางเลือก A1 และ A4 แม้ว่าจะให้ต้นทุนรวมเท่ากับ 560 บาทเท่ากัน แต่ทางเลือก A4 จะเสียเวลา
ในระบบน้อยกว่า ดังนั้นทางเลือก A4 จะมีประสิทธิภาพดีกว่าทางเลือก A1
              ในหลายสถานการณ์ผู้บริหารไม่สามารถประเมินผลเสียหายจากการรอคอยได้ ตัวอย่างเช่น เป็นการยากที่จะประเมิน
ค่าเสียหายที่ลูกค้าต้องการรอคอยเบิกเงินที่ธนาคาร หรือคนไข้อาการหนักรอคอยผ่าตัด แม้แต่ในสถานการณ์ที่สามารถประเมิน
ผลได้ความเสียหายจากการรอคอยอาจจะเพิ่มในอัตราส่วนที่ไม่เท่ากันก็ได้ เช่น รอ 1 ชั่วโมงเกิดความเสียหายประเมินได้ 100
 บาท แต่ก็รอเพิ่มขึ้นอีก 1 ชั่วโมงอาจจะก่อความเสียหายจนประมาณค่าไม่ได้ก็เป็นได้ ในสถานการณ์เช่นนี้แทนที่เราจะประเมิน
ค่าเสียหายจากการรอคอยเป็นตัวเงินออกมา ผู้บริหารงานอาจกำหนดค่าสูงสุดของเวลารอคอยที่ลูกค้านั้นทนรอได้ หรือมีเงื่อนไข
ว่าจำนวนลูกค้าที่รอคอยในแถวคอยจะต้องไม่เกินจำนวนที่กำหนดไว้ นั่นคือกำหนดขีดจำกัดของ Wq หรือ Lq  นั่นเอง จากขีด
จำกัดที่กำหนดขึ้นสามารถคำนวณหาอัตราให้บริการที่เสียค่าใช้จ่ายน้อยที่สุดโดยสอดคล้องกับเงื่อนไขที่กำหนดไว้ วิธีการนี้
ไม่ได้ให้ระบบแถวคอยที่เสียค่าใช้จ่ายน้อยที่สุดแต่เป็นวิธีการออกแบบระบบแถวคอยให้สอดคล้องกับข้อกำหนดทางด้านบริหาร 
ตัวอย่างปัญหาแถวคอยประเภทนี้จะได้กล่าวไว้ในกิจกรรมท้ายหัวเรื่องนี้