เรื่องที่ 7.3.1 การแจกแจงของการมารับบริการและเวลาให้บริการ
การเข้ามารับบริการมีรูปแบบการกระจายแบบปัวซอง และเวลาให้บริการมีการแจกแจงแบบเอกซ์โพเนนเชียล
การตั้งสมมุติฐานดังกล่าวพบว่าเป็นจริงในปัญหาการรอคอยที่พบเห็นในชีวิตประจำวันเป็นส่วนใหญ่ ทั้งนี้เพราะว่าโดย
ทั่วไปแล้วการมารับบริการของลูกค้าเป็นไปอย่างสุ่มและเป็นอิสระต่อกัน กล่าวคือ การที่ลูกค้าคนต่อไปจะเข้ามารับบริการ
หรือไม่ และเข้ามารับบริการเมื่อเวลาใดจะไม่ขึ้นกับการมารับบริการของลูกค้าคนก่อน ลักษณะเช่นนี้เป็นลักษณะการแจกแจง
แบบปัวซอง นั่นคือ จำนวนลูกค้าที่เข้ามารับบริการต่อหนึ่งหน่วยเวลาจะมีการแจกแจงแบบปัวซอง การแจกแจงของการ
มารับบริการบางครั้งอาจกำหนดในรูปการแจกแจงของช่วงห่างของเวลาเข้ามารับบริการก็ได้ ช่วงห่างของการมารับบริการ
หมายถึงช่วงเวลาที่ต่างกันระหว่างเวลาที่มารับบริการขิงลูกค้าสองคนติดกัน เช่น นาย ก. มารับบริการ เวลา 9.00 น.
ต่อมานาย ข. เข้ามารับบริการเมื่อ 9.05 น. ช่วงห่างของเวลามารับบริการเท่ากับ 5 นาที จากทฤษฎีความน่าจะเป็นเรา
ได้ว่า ถ้าจำนวนลูกค้าที่เข้ามารับบริการแจกแจงแบบบปัวซองแล้วจะได้ว่าช่วงห่างของเวลามารับบริการจะมีการแจกแจง
แบบเอกซ์โพเนนเชียล ตัวอย่างต่อไปนี้แสดงให้เห็นถึงลักษณะการแจกแจงของการมารับบริการและเวลาให้บริการจาก
ข้อมูลที่รวบรวมได้ โดยเปรียบเทียบกับลักษณะการแจกแจงแบบเอกซ์โพเนนเชียล
ตัวอย่างที่ 3
โรงงานอุตสาหกรรมผลิตเครื่องปรับอากาศแห่งหนึ่ง มีแผนกเบิกจ่ายอะไหล่ให้บริการแก่นายช่างของโรงาน
โดยใช้พนักงาน 1 คน จากการเก็บข้อมูลที่แผนกเบิกจ่ายอะไหล่ 5 วัน แต่ละวันจะสุ่มเลือกสังเกต 12 ช่วงเวลา
แต่ละช่วงกินเวลา 5 นาที ข้อมูลจำนวนนายช่าง (ลูกค้า) ที่มารับบริการใน 60 ช่วงเวลา ( 12 * 5 = 60 )
ที่สังเกตแสดงไว้ในตารางที่ 12 4 สำหรับการแจกแจงของเวลาให้บริการแก่นายช่างที่สุ่มเลือกมา 80 คน
แสดงในตารางที่ 12 3
เวลาให้บริการ ( นาที )
|
ค่าเฉลี่ย
( นาที )
|
จำนวนนายช่าง |
ต่ำกว่า
5 นาที |
2.5 |
61 |
5
10 |
7.5 |
16 |
10-15 |
12.5 |
1 |
15-20 |
17.5 |
2 |
รวม |
80 |
ตารางที่ 3 จำนวนนายช่างมารับบริการในแต่ละช่วง ( 5 นาที ) ของแต่ละวัน
วันที่
|
ช่วงเวลาที่ |
|
1 2 3
4 5 6
7 8 9
10 11 12 |
| 1 |
1 0
1 3 0
2 0 2
0 1
0 |
2 |
0 1 2
0 2 1 0 0
0 1
0 1 |
3 |
1 1 1
0 0 1
0 4
2 0
2 1 |
4 |
0 0 2
0 2 0
1 1 0
0 1 0 |
5 |
3 0
0 1 0
1 0 0 2
0 0
2 |
ข้อมูลจากตารางที่ 3 นำมาสรุปเป็นตารางแจกแจงความถี่ ดังแสดงในตารางที่ 4
ตารางที่ 4 ตารางแจกแจงจำนวนนายช่างที่เข้ามารับบริการในช่วง 5 นาที
จำนวนนายช่างที่เข้ามา
รับบริการในช่วง 5 นาที
|
ความถี่
( จำนวนช่วงเวลา )
|
0 |
29 |
1 |
18 |
2 |
10 |
3 |
2 |
4 |
1 |
รวม |
60 |
จากตารางที่ 4 คำนวณหาอัตราการเข้ารับบริการในช่วง 5 นาที ได้ดังนี้
อัตราการเข้ารับบริการ ( ) = 
=  = 0.80 คน/ช่วง 5 นาที
ค่าคาดหมายของ x ซึ่งเป็นจำนวนลูกค้าที่เข้ามารับบริการ โดยสมมุติว่า X มีการแจกแจงแบบปัวซองมีค่าเฉลี่ย
( ) = 0.80 คำนวณได้จากสูตรดังนี้
ค่าคาดหมายของ x = P ( x ) n1
= 
โดยที่ n1 = จำนวนข้อมูลที่สังเกต ( จำนวนช่วงเวลา 5 นาที ) ดังนั้น ค่าความถี่ของช่วงเวลาที่ไม่มีคน
เข้ามารับบริการ ( x = 0 ) คำนวณได้ดังนี้
จำนวนช่วงเวลาที่ไม่มีคนเข้ามารับบริการ =
= 
= 26.958
ตารางที่ 5 ต่อไปนี้แสดงค่าคาดหมายของจำนวนลูกค้าที่เข้ามารับบริการที่เป็นไปตามการแจกแจงแบบปัวซอง
โดยมีค่าเฉลี่ย () = 0.8
ตารางที่ 5 ตารางแสดงค่าคาดหมายตามทฤษฎีของจำนวนลูกค้าที่เข้ามารับบริการ
จำนวนลูกค้าที่เข้ามารับบริการ
( x )
|
ค่าคาดหมายทางทฤษฎี
( ตามการแจกแจงของปัวซองซึ่งมีค่าเฉลี่ย = 0.8 )
|
0
1
2
3
4
5
6
7
|
26.958
21.570
8.628
2.298
0.462
0.072
0.012
0.000
|
นำค่าความถี่ที่ได้จากการสังเกตข้อมูลซึ่งอยู่ในตารางที่ 4 และค่าคาดหมายทางทฤษฎี จากตารางที่ 5
ไปสร้างเป็นรูปฮิสโตแกรมดังภาพที่ 15
ภาพที่ 15 ฮิสโตแกรมแสดงการแจกแจงของจำนวนลูกค้า
จากภาพที่ 15 จะพบว่า ค่าความถี่ที่ได้จากทฤษฎีมีค่าใกล้เคียงสอดคล้องกับความถี่ที่ได้จากการสังเกตข้อมูล
ฉะนั้น เราสรุปได้ว่ารูปแบบการมารับบริการของนายช่างในช่วงเวลา 5 นาที มีการแจกแจงแบบปัวซอง โดยมีค่าเฉลี่ยเท่ากับ 0.8
จากตารางที่ 2 คำนวณหาเวลาเฉลี่ยที่ให้บริการนายช่าง 1 คน ได้ดังนี้
เวลาเฉลี่ยที่ให้บริการต่อคน = 
=  = 4 นาที
อัตราการให้บริการต่อนาที  = 1 = 0.25 คน/นาที
จากทฤษฎีความน่าจะเป็น ฟังก์ชันการแจกแจงของเวลาให้บริการ t ซึ่งมีการแจกแจงแบบเอกซ์โพเนนเชียล
มีอัตราการให้บริการต่อหน่วยเวลาเป็น  จะเป็นดังน
f( t ) =  , t >= 0
และความน่าจะเป็นที่เวลาให้บริการจะมีค่าน้อยกว่า t ซึ่งมีค่าน้อยกว่า T จะเป็นดังนี้
F( T ) = ความน่าจะเป็นที่เวลาให้บริการมีค่าน้อยกว่า T
= 
ดังนั้นความน่าจะเป็นมีเวลาให้บริการจะอยู่ในช่วงเวลา T1 และ T2 คำนวณได้จากสูตรดังนี้
P(T1 <= t <= T2) = ความน่าจะเป็นที่เวลาให้บริการจะอยู่ในช่วงเวลา T1 และ T2
= ความน่าจะเป็นที่เวลาให้บริการมีค่าน้อยกว่า T2 ความน่าจะเป็นที่เวลาการ
ให้บริการมีค่าน้อยกว่า T1
= 
= 
ค่าคาดหมายของ t ในช่วงเวลา T1 และ T2 โดยสมมุติว่าเวลาบริการ t มีการแจกแจงแบบเอกซ์โพเนนเชียล
ที่มีอัตราการบริการ ( ) = 0.25 คำนวณได้จากสูตรดังนี้
ค่าคาดหมายของ t ในช่วงเวลา T1 และ T2 = 
ในที่นี้ n2 = จำนวนข้อมูลที่สังเกต ( จำนวนนายช่าง )
ดังนั้นค่าคาดหมายของจำนวนนายช่างที่ใช้เวลาบริการไม่เกิน 5 นาที คำนวณได้ดังนี้
จำนวนนายช่างที่ใช้เวลาบริการไม่เกิน 5 นาที = 
= 57.1 คน
ในทำนองเดียวกันจะคำนวณหาค่าคาดหมายของเวลาให้บริการในช่วงเวลาต่างๆได้ดังแสดงในตารางที่ 6 ดังนี้
ตารางที่ 6 ตารางแสดงค่าคาดหมายตามทฤษฎีของเวลาให้บริการในช่วงเวลาต่างๆ
เวลาให้บริการ
( นาที )
|
ค่าคาดหมายตามทฤษฎี
( จำนวนคน )
|
ต่ำกว่า
5 นาที
5 10
10 15
15 20
มากกว่า 20 นาที
|
57.1
16.4
4.7
1.3
0.5
|
รวม |
80 |
ภาพที่ 16 ต่อไปนี้แสดงการเปรียบเทียบการแจกแจงของเวลาให้บริการจากข้อมูลที่ได้จากการสังเกตในตารางที่ 2
และเวลาให้บริการที่มีการแจกแจงแบบเอกซ์โพเนนเชียลจากตารางที่ 15 ผลจากการเปรียบเทียบจะเห็นได้ว่าการแจกแจงทั้งสอง
มีรูปลักษณะสอดคล้องกัน ฉะนั้นเราอาจกล่าวได้ว่า เวลาให้บริการเบิกจ่ายอะไหล่มีการแจกแจงประมาณได้ด้วยการแจกแจง
แบบเอกซ์โพเนนเชียลซึ่งมีอัตราการให้บริการในช่วงเวลา 5 นาที เท่ากับ 1.25 คน ( 5 * 0.25 = 1.25 )
ภาพที่ 16 การแจกแจงเวลาให้บริการ
จากภาพที่ 16 แสดงให้เห็นว่าถ้าการแจกแจงของเวลาให้บริการมีรูปแบบเป็นแบบเอกซ์โพเนนเชียลแล้วความน่าจะเป็น
ที่เวลาให้บริการเป็นเวลายาวนานจะมีค่าค่อนข้างต่ำ
หมายเหตุ วัตถุประสงค์ของการแสดงตัวอย่างที่ 3 เพื่อเป็นการยืนยันให้เห็นว่ารูปแบบการแจกแจงแบบปัวซองและ
เอกซ์โพเนนเชียลเป็นรูปแบบการแจกแจงที่พบเห็นได้ในปัญหาการรอคอยในชีวิตประจำวัน นอกจากนี้ยังแสดงถึงข้อมูล
ที่ได้จากการสังเกตจริงเพื่อแสดงถึงรูปแบบการเข้ารับบริการและเวลาให้บริการและวิธีการเปรียบเทียบอย่างคร่าวๆ ว่าข้อมูล
ที่เก็บรวบรวมมาได้นั้นมีการแจกแจงสอดคล้องกับการแจกแจงที่สมมุติไว้หรือไม่ วัตถุประสงค์ของหัวเรื่องไม่ต้องการ
เน้นวิธีการคำนวณสูตรต่างๆแต่ต้องการให้นักศึกษาเข้าใจหลักการและแนวความคิดเกี่ยวกับลักษณะการกระจายของการ
มารับบริการและเวลาให้บริการเป็นสำคัญ
|
