เรื่องที่ 9.5 ดีเทอร์มิแนนต์ (3)

เมทริกซ์ตั้งแต่ 2x2 ขึ้นไป
                 ในที่นี้จะกล่าวถึง 2 วิธีคือ
                  ก. วิธีตรึงแถวหรือสดมภ์
                  ข. การดำเนินการตามแถว
ก. วิธีการตรึงแถวหรือสดมภ์
                  เป็นวิธีการที่ใช้กับเมทริกซ์จัตุรัสที่มีมิติตั้งแต่ 2x2 ขึ้นไป มีขั้นตอนดังนี้
1. ให้ทำการเลือกแถวหรือสดมภ์ที่ต้องการตรึงหนึ่งแถวหรือสดมภ์ ข้อแนะนำควรเลือกแถวหรือสดมภ์ที่มีสมาชิก
เป็นศูนย์ให้มากที่สุด
2. แล้วทำการเลื่อนสดมภ์หรือแถว คือ ถ้าตรึง แถวจะเลื่อนสดมภ์ และในทางกลับกันถ้าทำการตรึงสดมภ์  จะทำการเลื่อนแถว
3. ค่าของดีเทอร์มิแนนต์ จะมีค่าเท่ากับผลบวกของผลคูณระหว่างสมาชิกที่เกิดจากการตรึงแถว หรือสดมภ์และสดมภ์หรือแถว 
ที่เลื่อนตัดกัน   กับ ตัวประกอบร่วมเกี่ยว (cofactor)  ของแถวหรือสดมภ์ที่ตรึง และสดมภ์ หรือแถวที่เลื่อนสำหรับตัวประกอบ
ร่วมเกี่ยวเป็นค่าของผลคูณระหว่าง (-1) ยกกำลังผลบวกของแถวหรือสดมภ์ที่ตรึงกับสดมภ์หรือแถวที่เลื่อนกับไมเนอร์ (minor)
ซึ่งไมเนอร์เป็นค่าของดีเทอร์มิแนนต์ที่เกิดจากการตัดแถวหรือสดมภ์ที่ตรึง   และสดมภ์หรือแถวที่เลื่อนไปนั่นคือ เขียนในรูปทั่วไป
สำหรับการหาค่าของดีเทอร์มิแนนต์เมื่อใช้การตรึงแถวหรือสดมภ์ดังนี้

ให้ A เป็นเมทริกซ์
              เมื่อใช้การตรึงแถวหนึ่งและเลื่อนสดมภ์ 1, 2, ..., n
             det A = a11C11+a12C12+...+a1nC1n
                     เมื่อใช้การตรึงแถวหนึ่งและเลื่อนสดมภ์ 1, 2, ..., n
                     โดยที่ ตัวประกอบร่วมเกี่ยว Cij = (-1)i+j Mij
                              Mij คือไมเนอร์ซึ่งเป็นค่าของ ดีเทอร์มิแนนต์ที่เกิดจากการตัดแถว i และ  สดมภ์ที่ j 

ตัวอย่าง 9.21 จงหาค่าของดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ A ที่มีมิติ 3x3
                                              A =   
วิธีทำ
             ในที่นี้เลือกตรึงแถวที่ 1 เนื่องจากไม่มีแถวที่มีสมาชิกที่เป็นศูนย์  ดังนั้นจึงเลื่อน สดมภ์ตั้งแต่สดมภ์ที่ 1 ถึง สดมภ์ที่ 3
                                                             
              เลื่อนสดมภ์ที่ 1ไป

              det A  = -3C11+3C12+2C13  ซึ่ง -3, 3, 2 เป็นสมาชิกที่เกิดจากการตรึงแถวที่ 1 และสดมภ์ที่ 1, 2, 3 ที่เลื่อนไป
                          = -3(-1)1+1 M11+3(-1)1+2 M12+2(-1)1+3 M13
                          =  -3 +3(-1)+2
                          = -3(-4-35)-3(8-30)+2(-56-24)
                          = -3(-39)-3(-22)+2(-80)
                          = 117+66-160 = 23