เรื่องที่ 9.5 ดีเทอร์มิแนนต์ (4)

ข. การใช้การดำเนินการตามแถว (row operation)
                 เป็นวิธีที่จะเหมาะสมมาก  ถ้าเมทริกซ์มีมิติที่มากกว่า 3x3 เพื่อทำให้เมทริกซ์มีมิติน้อยลงไปที่จะสะดวกในการหาค่า
โดยพยายามทำให้เมทริกซ์มีสมาชิกในแถวหรือสดมภ์ใดๆให้เป็น  สมาชิกมีค่าเป็นศูนย์ให้มากที่สุด ซึ่งมีขั้นตอนการทำดังนี้
                1. เลือก 1 แถวหรือ 1 สดมภ์ ถ้าเลือกแถวจะ พยายามทำให้สมาชิกในสดมภ์หนึ่งสดมภ์ให้เป็นศูนย์และเหลือเพียง
สมาชิก 1 ตัวที่ไม่เป็นศูนย์ที่ตรงกับแถวที่เลือก     โดยวิธีการทำสมาชิกให้เป็นศูนย์ทำได้โดยใช้แถวที่เหลือคูณด้วยเลขจำนวน
หนึ่งที่เมื่อนำไปนำไปบวกกับสมาชิกที่ ต้องการทำเป็นศูนย์แล้วเป็นศูนย์    นำค่าที่เป็นศูนย์เขียนทับทับที่ตำแหน่งเดิม ใน
ทำนองเดียวกันถ้าเลือกสดมภ์     จะทำให้สมาชิกในแถวให้เป็นศูนย์และเหลือ เพียง 1 ตัว 
               2. ทำซ้ำขั้นตอน  1 ไปเรื่อยๆหลังจาก นั้นถ้าเลือกแถวจะทำการตรึงสดมภ์ นั้นและเลื่อนแถวไป

ตัวอย่าง 9.22 ในที่นี้ขอยกตัวอย่างเมทริกซ์มิติ  3x3     เพื่อให้เห็นขั้นตอนที่ ชัดเจนขึ้นในการหาค่าของดีเทอร์มิแนนต์ 
แนนต์ โดยใช้วิธีการใช้ดำเนินการตามแถว
                                                           ให้    A = 
วิธีทำ
ในที่นี้เลือกแถวที่ 1  และต้องการทำให้สดมภ์ที่ 1 เป็นศูนย์ทั้งหมดยกเว้นสมาชิกที่อยู่ใน	แถวที่ 1 สดมภ์ที่ 1
                แถวที่ 2 สดมภ์ที่ 1    ทำโดยนำ   คูณแถวที่ 1 ตลอดแล้วลบกับแถวที่ 2
                แถวที่ 3 สดมภ์ที่ 1    ทำโดยนำ 2 คูณตลอดแถวที่ 1 แล้วบวกกับแถวที่ 3 
               ดังนี้
                        ถ้าให้ Ri แทนแถวที่ i  เมื่อ  i เป็นตำแหน่งแถว

	R1 เป็นแถวที่ 1
	R2 เป็นแถวที่ 2
	R3 เป็นแถวที่ 3

	R1
	8/3R1 - R2
	2R1 + R3

                      แถวที่ 1 ใหม่ (R1) ได้ค่าใหม่จากแถวที่ 1 เก่า 
                      แถวที่ 2 ใหม่ (R2) ได้ค่ามาจากการนำ 8/3 คูณตลอดกับแถวที่ 1 เดิม ลบแถวที่ 2 เดิม
                      แถวที่ 3 ใหม่ มาจากการนำ 2 คูณ แถวที่ 1 เดิม และ รวมกับแถวที่ 3 เดิม

                     หลังจากนั้นตรึงสดมภ์ที่ 1 แล้วเลื่อนแถวไป  ดังนี้
                                  ค่าของ det A  = -3C11 = -3(-1)1+1 M11  
                                                         = -3(1)
                                                        = -3(12- ) = -3( ) = 23
        ดังนั้นไม่ว่าจะหาดีเทอร์มิแนนต์ด้วยวิธีใดก็ตาม  ในบางครั้งค่าของ ดีเทอร์มิแนนต์ที่หาได้อาจมีค่าเป็นศูนย์หรือไม่เป็นศูนย์ 
ศูนย์ ถ้าค่าของดีเทอร์มิแนนต์ มีค่าเป็นศูนย์เรียกเมทริกซ์นั้นว่าเป็นเมทริกซ์เอกฐาน (singular matrix) และในทางกลับกัน
ถ้าค่าของดีเทอร์มิแนนต์มีค่าไม่เป็นศูนย์เรียกเมทริกซ์นั้นว่าเป็นเมทริกซ์มิใช่เอกฐาน (nonsingular matrix)
       นอกจากนี้ในการหาค่าของดีเทอร์มิแนนต์ยังมีคุณสมบัติที่ช่วยเอื้ออำนวย ในการหาได้ดังนี้
                        ให้ A, B เป็นเมทริกซ์จัตุรัส nxn
                                       det AB   = det A det B
                                        det An   =  n det A 
                                                           
                                        det At   =  det A