|
เรื่องที่ 3.7.3 ความน่าจะเป็น
ความน่าจะเป็น วิธีนี้ใช้กับกลวิธีแบบผสม ซึ่งผู้เล่นแต่ละฝ่ายมี 2 กลวิธีเท่านั้น หรืออีกนัยหนึ่งตารางตอบแทนจะอยู่ในรูป 2 x 2
มีแถวนอน 2 แถวและแถวตั้ง 2 แถว หลักการคำนวณที่ใช้มีขั้นตอนดังนี้
1. ให้ p แทนจำนวนครั้งหรือโอกาสที่ใช้ในสดมภ์ที่ 1
1-p แทนจำนวนครั้งหรือโอกาสที่ใช้ในสดมภ์ที่ 2
q แทนจำนวนครั้งหรือโอกาสที่ใช้ในสดมภ์ที่ 1
1-q แทนจำนวนครั้งหรือโอกาสที่ใช้ในสดมภ์ที่ 2
2..ใช้หลัก คำนวณหาค่า p และ q โดยนำค่าของค่าตอบแทนคูณกับขั้นตอนที่ 1 แล้วมารวมกัน โดยที่จะดูที่สดมภ์หนึ่งสดมภ์ใดก่อน และคำนวณตามขั้นตอน
ที่กล่าวมาแล้ว หลังจากนั้นนำมาเท่ากัน
3. ผลที่เกิดขึ้นจะได้ค่า p,q,1-p,1-q
สรุปเป็นกลวิธีที่ 1 ของผู้เล่นฝ่ายหนึ่ง
เป็นกลวิธีที่ 2 ของผู้เล่นฝ่ายหนึ่ง
เป็นกลวิธีที่ 1 ของผู้เล่นอีกฝ่ายหนึ่ง
เป็นกลวิธีที่ 2 ของผู้เล่นอีกฝ่ายหนึ่ง
4. คำนวณค่าของเกมจากการดูผู้เล่นแต่ละคน
ตัวอย่าง 1 กำหนดให้ค่าตอบแทนของนาย ก และนาย ข
จงหาค่าของเกมของนาย ก และนาย ข โดยใช้ความน่าจะเป็น วิธีทำ ขั้นที่ 1 ให้สัญลักษณ์ p,1-p แทนโอกาสที่ใช่ในสดมภ์ที่ 1,2
q,1-q แทนโอกาสที่ใช่ในแถวที่ 1,2
หมายความว่า เมื่อนาย ก ใช้กลวิธีที่ 1 เป็นสัดส่วน q และนาย ข ใช้สัดส่วน p โอกาสได้ผลตอบแทนเป็น 5 ขั้นที่ 2 ค่าตอบแทนคูณขั้นตอนที่ 1 แล้วรวมกัน
จะได้ สำหรับนาย ก
5q+3(1-q) = 2q+4(1-q)
5q-3-3q = 2q+4-4q
2q = -2q+1
q = 1/4
สำหรับนาย ข
5p+2(1-p) = 3p+4(1-p)
5pp+2-2p = 3p+4-4p
3p+2 = -p+4
4p = 2
p = 1/2
ได้
1-p = 1 1/2
= 1/2
q = 1/4
1-q = 3/4 แสดงว่าในกรณีของ นาย ข เมื่อนาย ก ใช้กลวิธีที่ 1 จะใช้กลวิธีที่ดีที่สุดของนาย ข คือ 1/2 นาย ข เมื่อนาย ก ใช้กลวิธีที่ 2 จะใช้กลวิธีที่ดีที่สุดของนาย ข คือ 1/2 นาย ก เมื่อนาย ข ใช้กลวิธีที่ 1 จะใช้กลวิธีที่ดีที่สุดของนาย ก คือ 1/4 นาย ก เมื่อนาย ข ใช้กลวิธีที่ 2 จะใช้กลวิธีที่ดีที่สุดของนาย ก คือ 3/4 ขั้นที่ 3 คำนวณค่าของเกม
ค่าของเกมของนาย ก = 1/2 [5 ( 1/4 ) + 3( 3/4 ) ] + 1/2 [ 2( 1/4 ) + 4( 3/4 ) ]
= 1/2[14/4 ] + 1/2 [ 14/4 ]
= 14/4
= 7/2
ค่าของเกมของนาย ข = 1/4 [5( 1/2 ) + 2( 1/2 ) ] + 3/4 [3( 1/2 ) + 4( 1/2) ]
= 1/4 [ 7/2 ] + 3/4[7/2]
= 7/8 + 21/8
= 28/8
= 14/4
= 7/2
ตัวอย่าง 2 ไม่มีจุดดุลศูนย์ถ่วงเป็นกลวิธีผสม
1. กำหนดสัดส่วน p และ q
โอกาสที่ผลตอบแทน 5 จะเกิดขึ้น เมื่อ ก ใช้กลวิธีที่ 1 เป็นสัดส่วน = q โอกาสที่ผลตอบแทน 3 จะเกิดขึ้น เมื่อ ก ใช้กลวิธีที่ 2 เป็นสัดส่วน = 1-q โอกาสที่ผลตอบแทน 5 จะเกิดขึ้น เมื่อ ข ใช้กลวิธีที่ 1 เป็นสัดส่วน = p โอกาสที่ผลตอบแทน 1 จะเกิดขึ้น เมื่อ ข ใช้กลวิธีที่ 2 เป็นสัดส่วน = 1-p 2. นำหลัก มาใช้
ในกรณีของ ก ค่าที่คาดหมายของ ก เมื่อ ข ใช้กลวิธีที่ 1 = 5q+3(1-q) ค่าที่คาดหมายของ ก เมื่อ ข ใช้กลวิธีที่ 2 = q+4(1-q) 5q+3(1-q) = q+4(1-q) 5q+3-3q = q+4-4q
5q = 1
q = 1/5
1-q = 4/5
ในกรณีของ ข
ค่าที่คาดหมายของ ข เมื่อ ก ใช้กลวิธีที่ 1 = 5P+1-P
ค่าที่คาดหมายของ ข เมื่อ ก ใช้กลวิธีที่ 2 = 3P+4(1-P)
5p+1-p = 3P+4(1-P)
4p+1 = 3p+4-4p
5p = 3
p = 3/5
1-p = 2/5
ดังนั้น กลวิธีที่ดีที่สุดของ ก คือใช้กลวิธีที่ 1 1/5
" กลวิธีที่ 2 4/5
กลวิธีที่ดีที่สุดของ ข คือใช้กลวิธีที่ 1 3/5
" กลวิธีที่ 2 2/5
3. คำนวณค่าของเกม แทนค่า p และ q ที่คำนวณได้ลงในสมการที่คาดหมายทั้งหมด
คิดในด้านของผู้เล่น ก มีเหตุผล ดังนี้
1. ก จะได้ผลตอบแทน 5 ต่อเมื่อใช้กลวิธีที่ 1 เป็นสัดส่วน 1/5 และจะได้ผลตอบแทน 3
เมื่อใช้กลวิธีที่ 2 เป็นสัดส่วน 4/5 และในการนี้ต้องขึ้นอยู่กับ ข ว่าจะต้องใช้กลวิธีที่ 1 ด้วยสัดส่วน 3/5
ค่าที่คาดหมายโดยกำหนดให้ ข เล่นกลวิธีที่ 1 เป็นหลักจะเท่ากับ 3/5 [ 5(1/5) + 3(4/5) ]
2. ก จะได้ผลตอบแทน 1 ต่อเมื่อใช้กลวิธีที่ 1 เป็นสัดส่วน 1/5 และจะได้ผลตอบแทน 4
เมื่อใช้กลวิธีที่ 2 เป็นสัดส่วน 4/5 และในการนี้ต้องขึ้นอยู่กับ ข ว่าจะต้องใช้กลวิธีที่ 2
ด้วยสัดส่วน 2/5
ค่าที่คาดหมายโดยกำหนดให้ ข เล่นกลวิธีที่ 1 เป็นหลักจะเท่ากับ 2/5 [ 1(1/5) + 4(4/5) ]
ค่าของเกม = ค่าที่คาดหมายทั้งหมดของ ก
= ค่าที่คาดหมายของ ก โดยกำหนดให้ ข เล่นวิธีที่ 1 + ค่าที่คาดหมายของ ข
โดยกำหนดให้ ก เล่นวิธีที่ 2
= 1/5 [ 5(3/5) + 1(2/5) ] + 4/5[(3/5) + 4(2/5) ]
= 1/5 [15/5 + 2/5 ] + 4/5 [9/5 + 8/5 ]
= 1/5 (17/5) +4/5(17/5)
= 17/5
ค่าของเกมในกรณีนี้ ก เป็นผู้ได้ มิได้หมายความว่า ก จะเล่นได้ 17/5 ทุกครั้งที่เล่นเกมนี้
แต่หมายความว่าทุกครั้งที่เล่นเกมนี้ไปหลายครั้งแล้วมาหาถัวเฉลี่ยจะเป็น 17/5
|
|